Quando um livro diz que a Terra tem 5,97 trilhões de trilhões de quilos, a pergunta honesta é: como é que alguém sabe disso? Ninguém nunca pôs um planeta numa balança. A resposta é que não se pesa o planeta — se cronometra uma lua dando a volta nele. Com a distância dessa lua e o tempo que ela leva para completar uma volta, a massa do planeta cai da conta sozinha. Refizemos a conta aqui, do zero, com os números públicos da NASA, e ela acerta a massa da Terra com erro de 0,3%.
A ideia, em uma frase
Uma lua em órbita está presa pela gravidade do planeta. Quanto mais pesado o planeta, mais forte o puxão, e mais depressa a lua tem de correr para não cair. Então a velocidade da lua denuncia o peso do planeta.
É como girar uma pedra amarrada a um cordão. Se o cordão for curto, você precisa girar mais rápido para a pedra não despencar; se for longo, pode girar devagar. Observando só a pedra, dá para descobrir a força do cordão — e, no caso do planeta, quem faz o papel do cordão é a gravidade.
Isso vale para qualquer satélite: uma lua natural, uma sonda, uma estação espacial. O que importa são dois números medidos com telescópio: a que distância o satélite orbita e quanto tempo leva uma volta.
A conta, escrita de um jeito que dá para seguir
A fórmula vem da terceira lei de Kepler, de 1619, combinada com a gravidade de Newton, de 1687. Ela diz:
massa = 4 × π² × (distância)³ ÷ (G × tempo de uma volta²)
Três coisas para entender antes de usar:
- A distância entra ao cubo. Multiplicada por ela mesma três vezes. Por isso errar a distância por 1% erra a massa por 3%.
- O tempo entra ao quadrado, e dividindo. Órbita lenta significa planeta leve.
- G é a constante da gravitação, 6,674 × 10⁻¹¹ nas unidades do sistema internacional. É um número que não se mede no céu: mede-se em laboratório, aqui embaixo, e vamos voltar a ele.
Nada mais. Não é preciso saber do que o planeta é feito, se tem atmosfera, se é de rocha ou de gás.
Fazendo a conta para a Terra, com a Lua
A ficha planetária da NASA publica os dois números de que precisamos sobre a Lua: ela orbita a 384 mil km e leva 27,3 dias para dar uma volta.
Jogando isso na fórmula, sai 5,95 × 10²⁴ kg. O valor que a NASA publica para a massa da Terra é 5,97 × 10²⁴ kg. Erro: 0,4% — e a diferença vem só de termos usado os números arredondados da própria ficha. Com a distância e o período mais precisos, o erro cai para 0,3%.
Vale parar um segundo nesse 10²⁴. Escrito por extenso, ele é 5.970.000.000.000.000.000.000.000 quilos — um 597 seguido de 22 zeros. Nenhum ser humano tem intuição para isso, e trocar por "quase seis septilhões" não ajuda ninguém. A única forma honesta de dar escala é por comparação: a Terra tem 81 vezes a massa da Lua, e Júpiter tem 318 vezes a massa da Terra.
A armadilha: a conta não dá a massa do planeta
Aqui está o detalhe que separa quem entendeu de quem decorou. A fórmula não devolve a massa do planeta: devolve a soma das massas dos dois corpos.
No caso Terra–Lua isso importa, porque a Lua não é um grão de poeira: ela tem 1,2% da massa da Terra. A conta bruta deu 6,03 × 10²⁴ kg para o conjunto; tirando a Lua, sobram os 5,95 × 10²⁴ kg da Terra.
Nos outros casos a diferença é irrelevante. Io tem 0,005% da massa de Júpiter — subtrair ou não subtrair não muda nenhum dígito que a gente vá publicar. Mas em sistemas de duas estrelas parecidas, onde as massas são comparáveis, ignorar isso é um erro grosseiro.
O teste: a mesma conta, em quatro planetas
Se a receita presta, ela tem de funcionar em qualquer lugar. Refizemos para quatro casos, sempre com distâncias e períodos publicados pela NASA e pelo Laboratório de Propulsão a Jato, e comparamos com a massa oficial de cada planeta:
| Planeta | Satélite usado | Nossa conta | Valor da NASA | Erro |
|---|---|---|---|---|
| Terra | Lua | 5,96 × 10²⁴ kg | 5,97 × 10²⁴ kg | 0,3% |
| Marte | Fobos | 6,42 × 10²³ kg | 6,42 × 10²³ kg | 0,05% |
| Júpiter | Io | 1,900 × 10²⁷ kg | 1,898 × 10²⁷ kg | 0,09% |
| Júpiter | Calisto | 1,898 × 10²⁷ kg | 1,898 × 10²⁷ kg | 0,02% |
Fobos, usada para Marte, é um caso simpático: ela corre tão colada ao planeta que dá uma volta em 7 horas e 39 minutos, mais rápido do que o próprio Marte gira. Quem é essa lua está em Fobos e Deimos: as duas luas de Marte.
Repare nas duas últimas linhas. Io leva 1,77 dia para dar a volta em Júpiter; Calisto, 16,69 dias. São órbitas completamente diferentes, em distâncias completamente diferentes — e as duas entregam a mesma massa para o mesmo planeta. É assim que se sabe que a receita está certa e não deu sorte.
A legenda oficial da foto que abre este texto, do Hubble, diz a mesma coisa em outras palavras: "as velocidades orbitais das luas são proporcionalmente menores quanto maior a distância ao planeta". Essa frase é a terceira lei de Kepler.
E os planetas que não têm lua nenhuma?
Mercúrio e Vênus não têm luas. Nenhuma. Então a receita acima não serve — e a solução foi mandar o satélite para lá.
Quando uma sonda passa perto de um planeta, a gravidade dele entorta a trajetória e muda a velocidade da nave. Esse desvio é medido da Terra com uma precisão absurda, pelo deslocamento da frequência do rádio da sonda: a mesma física que faz a sirene da ambulância mudar de tom ao passar por você. Da curvatura da trajetória sai a massa.
Foi assim que se pesou Mercúrio e Vênus, e a precisão é impressionante. O catálogo do Laboratório de Propulsão a Jato publica para Vênus o valor 324.858,592, com incerteza de apenas 0,006 — uma precisão de uma parte em cinquenta milhões. Dividindo esse número pela constante G, chega-se a 4,867 × 10²⁴ kg, que bate com os 4,87 × 10²⁴ kg da ficha da NASA.
O número pior medido de toda essa história é G
Agora a parte que quase nunca aparece. Olhe os dois números que o Laboratório de Propulsão a Jato publica sobre a Terra, lado a lado:
| Grandeza | Valor publicado | Precisão |
|---|---|---|
| Gravidade da Terra (G × massa) | 398.600,435436 km³/s² | 1 parte em 285 milhões |
| Massa da Terra | 5,97219 × 10²⁴ kg | 1 parte em 10 mil |
A mesma instituição, o mesmo planeta, e uma diferença de quase 30 mil vezes na precisão. Como isso é possível?
Porque o que se mede de verdade, no céu, é o produto G × massa, nunca a massa sozinha. Esse produto é conhecido com uma precisão espantosa, porque basta cronometrar órbitas. Para transformá-lo em quilos, é preciso dividir por G — e G é a constante fundamental da física pior medida que existe. Ela só pode ser obtida em laboratório, medindo a atração entre dois pesos de metal numa sala, um experimento feito pela primeira vez por Henry Cavendish em 1798 e que até hoje dá resultados ligeiramente diferentes conforme o laboratório.
Ou seja: a massa da Terra é conhecida com cinco casas não por culpa da astronomia, mas por culpa de um experimento de bancada. Toda a imprecisão está em G.
Para que serve saber a massa
Massa sozinha não diz muito. Combinada com o tamanho, diz quase tudo — porque massa dividida por volume é a densidade, e a densidade denuncia do que o planeta é feito.
A Terra tem densidade de 5.514 kg por metro cúbico, mais que o dobro da rocha comum: é a assinatura de um planeta com um núcleo de metal pesado lá dentro. Saturno tem 687, menos que a água. Essa diferença é a fronteira entre planeta rochoso e gigante gasoso, e ela aparece em Quantos planetas tem o Sistema Solar? A ordem e os dados.
A mesma lógica vale fora daqui. Quando se descobre um planeta em volta de outra estrela, o que se mede é justamente o bamboleio que ele provoca nela — gravidade de novo, massa de novo. O método está em Como descobrem planetas fora do Sistema Solar?. E o conceito que sustenta tudo isso, inclusive a diferença entre massa e peso, está em O que é gravidade? E por que os astronautas flutuam.
